绝对重力仪中g的测定

2.1   绝对重力仪测量原理
目前国内外普遍采用的重力仪，是根据牛顿第二定律在高真空条件下测量物体在竖直方向自由下落所经历的距离和时间来计算重力加速度。通过一个角锥棱镜作为落体在高真空中自由下落，用激光干涉法测量落体下落距离，其等于干涉条纹数乘以激光半波长λ/2，单位为m。用铷钟同步的时钟信号测量相应下落时间，单位为s，再通过最小二乘法拟合运动方程的二次项系数[9]，得到所需的绝对重力值。测试原理如图5所示。


图  5  自由落体式绝对重力测量原理图
Figure  5.  Schematic diagram of free falling absolute gravity measurement
自由下落落体距离与时间的关系为式（3）。

D=D0+v0T+12gT2
(3)
式中，D为落体在时间T内自由下落的距离， m；D0为落体自由下落的初始距离， m；v0为落体自由下落的初始速度， m/s；g为重力加速度， m/s2；T为落体自由下落的时间， s。

在自由落体式绝对重力仪中，若考虑落体自由下落过程中受到重力垂直梯度的影响，则应代入重力垂直梯度参数参加计算[11]。则根据牛顿运动定律有式（4）。

d2sdt2=g0+γ(s?s0)
(4)
式中，s为落体随时间t自由下落的距离， m；s0为落体自由下落的初始距离， m；t为落体自由下落的时间， s；g0为落体初始处的重力加速度值， m/s2；γ为重力垂直梯度值。

经过一系列运算与近似整理得到式（5）[12] 。

s=s0+v0t+g02t2+v0γ6t3+g0γ24t4
(5)
式（5）才是自由落体式绝对重力仪所用的完整自由落体理论关系式。

重力仪测量过程设计为在一次下落过程中，干涉条纹每累计到700个计一次时间，总共计900个这样的距离-时间参数参与拟合，组成一个重力数据[13]。这样总共为630000个干涉条纹，下落总距离大约20 cm，下落总时间大约0.2 s，干涉条纹产生的脉冲频率范围大约800 kHz～10 MHz。

计满700个干涉条纹后，对应的基准时钟周期很难恰好为整数倍，也就是说不会正好是时钟周期的下降沿或上升沿。在合成出2.8 GHz的等效时钟后，如果少计或多计1个脉冲时钟，其时间的测量误差最大仅为0.357 ns。图6为该时间间隔测量法的原理图。


图  6  时间间隔测量法原理图
Figure  6.  Schematic diagram of time interval measurement method
2.2   最小二乘法在自由落体式绝对重力仪中的应用
重力仪中的落体在每次下落过程中测得的离散的下落时间-下落距离数据，通过拟合的方法生成一条连续的曲线[14]，曲线的二次项系数就是重力加速度值。在这些拟合方法中，最常用的是最小二乘法，其原理是使各个观测数据点与拟合曲线的偏差的平方和最小，拟合曲线更接近于真实函数。

设一个m次多项式来拟合 n个观测数据点(xi,yi),i=1,2,?,n（m远小于n），如式（6）所示。

y(x)=a0+a1x+a2x2+?+amxm=∑j=0majxj
(6)
则每一个观测数据点与拟合曲线的偏差为式（7）。

y(xi)?yi=a0+a1xi+?+amxmi?yi
(7)
偏差的平方和为式（8）。

F(a0,a1,?,am)=∑i=1n[y(xi)?yi]2
(8)
根据最小二乘法原理，应取a0,a1,?,am使F(a0,a1,?,am)有极小值，则应满足式（9）。

?F?aj=2∑i=1n[y(xi)?yi]xji=0(j=0,1,?,m)
(9)
即存在式（10）。

∑i=1n[a0+a1xi+?+amxmi?yi]xji=∑i=1n[a0xji+a1xj+1i+?+amxj+mi?yixji]=a0∑i=1nxji+a1∑i=1nxj+1i+?+am∑i=1nxj+mi?∑i=1nyixji=0 
(10)
则系数a0,a1,...,am满足式（11）。

a0∑i=1nxji+a1∑i=1nxj+1i+?+am∑i=1nxj+mi=∑i=1nyixji
(11)
对上述方法，可以用解矛盾方程组的方法实现。

设系数矩阵A=?????1,x1,x21,?xm11,x2,x22,?xm2?1,xn,x2n,?xmn????? （为对称、正定矩阵），则对离散数据(xi,yi),i=1,2,?,n所作的m次拟合曲线a0+a1x+?+amxm可通过解式（12）矛盾方程组的方法实现。

ATA?????a0a1?am?????=AT?????y1y2?yn?????
(12)
根据s=s0+v0t+g02t2+v0γ6t3+g0γ24t4，可整理得到式（13）。

s=s0+v0(t+γt36)+g02(t2+γt412)
(13)
设?i=ti+γt3i6 ，βi=t2i+γt4i12，若有n组测量数据(si,?i,βi)，应用最小二乘法原理把自由落体式绝对重力仪中的最小二乘法拟合问题转化为解下列矩阵方程，如式（14）所示。

????????????n,∑i=1n?i,∑i=1nβi∑i=1n?i,∑i=1n?2i,∑i=1n?iβi∑i=1nβi,∑i=1n?iβi,∑i=1nβ2i????????????????s0v0g02????=????????????∑i=1nsi∑i=1nsi?i∑i=1nsiβi????????????
(14)
上述矩阵方程相当于解式（15）矛盾方程组。

ATA????s0v0g02????=AT?????s1s2?sn?????
(15)
式中，A=?????1,?1,β11,?2,β2?1,?n,βn????? ， AT=??1,1?1?1,?2??nβ1,β2?βn?? 。

由式（15）可得到落体初始状态下（第一个有效光干涉条纹产生时的位置）的重力加速度值g0 [15]。

2.3   FPGA时间测量系统实现
选择Altera公司的Cyclone IV?系列EP4CE22C8N芯片为核心，构建片上可编程系统。在系统中加入自定义模块、通用异步收发传输器模块、存储器控制器，构建一个片上系统，利用Quartus II 13.1等FPGA开发工具进行软硬件协同设计、IP核定制、底层逻辑电路设计、驱动开发、上层软件开发和固化程序设计 [16]。硬件逻辑电路设计首先在Quartus II中创建顶层文件并添加自定义的IP核模块，然后进行管脚分配、时序约束与仿真等，最后进行全编译与综合。采用Verilog HDL硬件描述语言对芯片内部进行逻辑电路设计，总体原理如图6所示。

落体下落时连续获取700个干涉条纹转换的脉冲信号，并使用数字移相法精确计算出700个脉冲对应的时间间隔，再通过串行口模块发送至上位机用于计算。为保证系统对本组700个脉冲信号测量后，能够不间断的继续测量下一组信号并实时通过串口发送至上位机系统，设计两组8路计数器和1个加法器模块[17]。脉冲输入端经过电平转换模块输出为700个脉冲信号，对应高低电平交替变化的时间间隔，并接入计数器的使能端，在第二组8路计数器的使能端加入反相器，即可实现变频状态下不间断连续测量并实时将结果发送至上位机。